Un théorème d'ergodicité quantique sur des variétés de contact

Dans cet exposé, je présenterai un théorème d'ergodicité quantique pour les fonctions propres des sous-Laplaciens des structures de contact métriques, sous l'hypothèse que le flot de Reeb est ergodique. Le résultat repose sur un calcul pseudodifférentiel semi-classique adapté aux variétés filtrées, que je spécialise au cadre des variétés de contact. Un ingrédient essentiel à la preuve est la construction de projecteurs microlocaux, appelés projecteurs de Landau, qui commutent avec le sous-Laplacien et permettent de décomposer la dynamique en composantes effectives. Sur chacune de ces composantes, le sous-Laplacien reproduit essentiellement l'action du champ de Reeb. Une fois établies des lois de Weyl microlocales, la démonstration de l'ergodicité quantique suit alors les grandes lignes de la preuve classique du théorème de Schnirelman.