Existence de variétés abéliennes non cycliques simples sur des corps finis arbitraires et de dimension donnée $g>1$

Vladuts a caractérisé l'ensemble des corps finis $k$ tels que toutes les courbes elliptiques définies sur $k$ possèdent un groupe de points rationnels cyclique.

Dans cet exposé, j'étudie la même question en dimension supérieure. Plus précisément, je démontre qu'il n'existe pas de corps fini $k$ tel que toutes les variétés abéliennes simples définies sur $k$ de dimension g > 1 possèdent un groupe de points rationnels cyclique. Ce problème est lié à l'étude des propriétés arithmétiques de certains types d'entiers algébriques totalement réels.

Si le temps le permet, je vais présenter certains problèmes ouverts (d'après un travail avec E. Berardini) sur des entiers algébriques totalement positifs, et le lien avec la cyclicité de variétés maximales.