La conjecture BSD prédit qu'une courbe elliptique sur $\mathbf{Q}$, E, possède une infinité de points rationnels si et seulement si sa fonction L s'annule en s = 1. Si E a réduction multiplicative déployée en p – c'est-à-dire si E/$\mathbf{Q}_p$ admet une uniformisation de Tate $\mathbf{C}_p^*/q^{\mathbf{Z}}$ – alors il existe un analogue p-adique $L_p(E,s)$ de la fonction L. Cependant, $L_p(E,1) = 0$ indépendamment si $L(E,1)$ s’annule ou non. La « conjecture du zéro exceptionnel » de Mazur-Tate-Teitelbaum, démontrée par Greenberg-Stevens en 1993, stipule que, dans ce cas, la dérivée première $L_p'(E,1)$ est bien plus intéressante : elle vérifie $L_p'(E,1) = log(q)/ord(q)$ x L(E,1)/(période). En particulier, $L_p'(E,1)$ devrait s'annuler si et seulement si $L(E,1) = 0$ si et seulement si E($\mathbf{Q}$) est infini ; et mieux encore, elle présente un lien surprenant avec la période de Tate q, via le « L-invariant » log(q)/ord(q).

Dans cet exposé, j'aborderai le phénomène du zéro exceptionnel pour des représentations automorphes de GL(3). Il s'agit d'un travail en commun avec Andy Graham et Chris Williams.