Dans cet exposé, nous passerons en revue les outils développés pour étudier les représentations linéaires des groupes fondamentaux des variétés kählériennes compactes, en particulier la théorie de Hodge non abélienne de C. Simpson et sa version non archimédienne (initiée par M. Gromov et R. Schoen puis reprise par L. Katzarkov et K. Zuo). Ceci nous amènera à donner un éclairage nouveau sur un résultat de factorisation dû à K. Zuo puis à discuter ses applications à la question de Shafarevich (convexité holomorphe des revêtements universels des variétés kählériennes compactes). Il s'agit d'un travail en commun avec F. Campana et P. Eyssidieux.