Les géométries de Hilbert étant une généralisation du modèle projectif de la géométrie hyperbolique, définies à l'interieur d'un convexe en utilisant le birapport, il n'est pas étonnant qu'on s'intéresse à la croissance volumique des boules. La conjecture en cours est que l'entropie volumique est toujours plus petite que celle de l'espace hyperbolique de même dimension. Avec A. Bernig et G. Berck nous avons démontré cette conjecture en dimension 2. M. Crampon l'a démontré pour les géométries dont le bord est strictement convexe et admettant un quotient compact. Nous montrerons qu'une nouvelles approche, liant l'entropie à l'approximabilite du bord par des polytopes, nous permet non seulement de donner une nouvelle démonstration de la conjecture en dimension 2, mais également en dimension 3.