On peut associer à une variété pseudo-riemanienne $(M,g)$ son cône $(\hat M, \hat g)$ défini par $\hat M=M \times ]0,+\infty[$ et $\hat g = dr^2 +r^2 g$. On montrera que la seule variété pseudo-riemannienne compacte dont le cône admet un champ parallèle d'endomorphismes symétriques est, à revêtement fini prés, la sphère riemannienne ronde (travail en commun avec V. Matveev). Si on suppose la variété riemannienne il est possible de remplacer la compacité de $M$ par la complétude de $g$ (Gallot-Tanno 1979). Nous verrons qu'il n'en est rien dans le cas pseudo-riemannien. On verra aussi, en utilisant les travaux de Kiosak et Matveev, quelques conséquences de ce résultat sur les propriétés projectives des variétés pseudo-riemanniennes.